Question

平面直角坐标系xOy中，已知以O为圆心的圆与直线l：y=mx+（3-4m）恒有公共点，且要求使圆O的面积最小．
（1）写出圆O的方程；
（2）圆O与x轴相交于A、B两点，圆内动点P使、、成等比数列，求的范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据已知直线必过定点，而要使面积最小则定点一定在圆上，此时易求出圆的方程；
（2）根据圆与x轴相交，求出AB两点坐标，根据P在圆内以及由使、、成等比数列分别求出一个关系式，两个关系式联立即可求出y²的取值范围，最终判断出的取值范围
解答：解：（1）∵直线方程为y=mx+（3-4m）
∴易得l过定点T（4，3）
由题意，要使圆O的面积最小，定点T（4，3）在圆上
∴圆O的方程为：x²+y²=25
（2）∵圆O与x轴相交于A、B两点
故A（-5，0） B（5，0）
设P（x，y）为圆内任意一点
故：x²+y²＜25            ①
，
由使、、成等比数列得：
=•
∴x²+y²=•
整理得：x²-y²=         ②
由①②得：
0≤y²≤
=（x²-25）+y²=2y²-
∴∈[-，0）．
点评：本题考查向量的取值范围问题，涉及到直线与圆的位置关系，以及等比数列问题．通过圆内任意点坐标满足的两个关系最终确定向量的取值范围，属于难题．