Question

【题目】设A是同时符合以下性质的函数f(x)组成的集合：

①x∈[0，＋∞)，都有f(x)∈(1,4]；②f(x)在[0，＋∞)上是减函数.

(1)判断函数f1(x)＝2－和f2(x)＝1＋3· (x≥0)是否属于集合A，并简要说明理由；

(2)把(1)中你认为是集合A中的一个函数记为g(x)，若不等式g(x)＋g(x＋2)≤k对任意的x≥0总成立，求实数k的取值范围.

Answer 1

【答案】(1)答案见解析；(2) .

【解析】试题分析：

(1)由函数的解析式可得函数的满足，则该函数不在集合A中，考查函数的性质可得函数在集合A中；

(2)结合(1)的结论可得，结合函数的解析式可得实数的取值范围是.

试题解析：

(1)f1(x)＝2－不在集合中，f2(x)＝1＋3·x在集合A中，

理由：f1(x)＝2－，∵≥0，

∴2－≤2，

∴f1(x)不在集合A中．

又∵x≥0时，0＜x≤1，

∴1＜1＋3·x≤4，

即f2(x)∈(1,4]，

又函数y＝x在[0，＋∞)是减函数，

∴f2(x)＝1＋3·x在[0，＋∞)也是减函数．

(2)由(1)知g(x)＝1＋3·x，

故F(x)＝g(x)＋g(x＋2)＝1＋3·x＋1＋3·x＋2＝2＋·x.

因为当x≥0时，0＜x≤1，

∴2＜2＋·x≤，

∴k≥.

故k的取值范围为.