Question

【题目】大自然是非常奇妙的，比如蜜蜂建造的蜂房.蜂房的结构如图所示，开口为正六边形ABCDEF，侧棱AA'、BB'、CC'、DD'、EE'、FF'相互平行且与平面ABCDEF垂直，蜂房底部由三个全等的菱形构成.瑞士数学家克尼格利用微积分的方法证明了蜂房的这种结构是在相同容积下所用材料最省的，因此，有人说蜜蜂比人类更明白如何用数学方法设计自己的家园.英国数学家麦克劳林通过计算得到∠B′C′D′＝109°28′16'.已知一个房中BB'＝5，AB＝2，tan54°44′08'，则此蜂房的表面积是_____.

Answer 1

【答案】216

【解析】

表面积分两部分来求，一是底面，是三个全等的菱形，连接BD，B′D′，易得BD∥B′D′，BD＝B′D′＝6，再根据∠B′C′D′＝109°28′16'，tan54°44′08'，得到OC′，B′C′，可计算菱形的面积，二是侧面，是六个全等的直角梯形，由B′C′，结合BB′，BC，得到CC′，求得梯形的面积，然后两部分相加即可.

如图所示：

连接BD，B′D′，则由题意BD∥B′D′，BD＝B′D′＝6，

∵四边形OB′C′D′为菱形，∠B′C′D′＝109°28′16'，tan54°44′08'，

∴OC′＝226，B′C′＝3，

∴CC′＝BB′4，

∴S梯形BB′CC′27，

∴S表面积＝63216.

故答案为：216.