Question

【题目】如图，为椭圆的左顶点，过的直线交抛物线于、两点，是的中点.

（1）求证：点的横坐标是定值，并求出该定值；

（2）若直线过点，且倾斜角和直线的倾斜角互补，交椭圆于、两点，求的值，使得的面积最大.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析，定值1. (2)

【解析】

（1）由题意可求，设、，：，联立直线与抛物线，利用是的中点得，计算可得点的横坐标是定值；

（2）由题意设直线的方程为，联立方程，利用是的中点，可得，根据三角形的面积公式以及基本不等式可求的面积最大值，由取等条件解得的值.

（1），过的直线和抛物线交于两点，所以的斜率存在且不为0，设：，其中是斜率的倒数，设、，满足，即，且，因为是中点，所以，所以，，

所以，即点的横坐标为定值1.

（2）直线的倾斜角和直线的倾斜角互补，所以的斜率和的斜率互为相反数.设直线为，即，

联列方程得，

，所以；且，

∵点是中点，∴，

设到的距离，，

，令，

当且仅当，时取到，

所以，.

法二：因为点在抛物线上，不妨设，又是中点，则，代入抛物线方程得：，得：，∴为定值.

（2）∵直线的斜率，直线斜率，

∴直线的方程：，即，令代入椭圆方程整理得：

，设、，下同法一.