题目内容

在数列{an}中,已知a1=2,an+1=3an+λn-1,n∈N*,λ为常数.

(1)若数列{an+n}是等比数列,求实数λ的值;

(2)在(1)的条件下,求数列{an}的前n项和Sn.

解:(1)由a1=2且an+1=3an+λn-1得a2=3a1+λ-1=5+λ,a3=3a2+2λ-1=5λ+14.

∵数列{an+n}是等比数列,∴(a2+2)2=(a1+1)(a3+3).2分∴(λ+7)2=3(5λ+17),

整理得λ2-λ-2=0,解得λ=2或λ=-1.

当λ=2时,由an+1=3an+2n-1得an+1+n+1=3(an+n),

∴=3.又a1+1=3,

∴数列{an+n}是首项为3,且公比为3的等比数列.

〔或当λ=2时,由an+1=3an+2n-1得===3〕

当λ=-1时,≠常数.

∴当数列{an+n}是等比数列时,λ=2.

(2)由(1)可知an+n=3×3n-1=3n,∴an=3n-n.

∴数列{an}的前n项和Sn=(3+32+…+3n)-(1+2+…+n)=.

练习册系列答案
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在数列{an}中，已知a1=
1
4
，
an+1
an
=
1
4
，bn+2=3log 
1
4
an（n∈N*）．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）求证：数列{bn}是等差数列；
（Ⅲ）设cn=
3
bn•bn+1
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m
20
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an1+2an
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2
an+1+an-1
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1
2
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7
2
，an=3an-1+3n-1（n≥2，n∈N*）．
（Ⅰ）计算a2，a3；
（Ⅱ）求证：{
an-
1
2
3n
}是等差数列；
（Ⅲ）求数列{an}的通项公式an及其前n项和Sn．

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