题目内容
在数列{an}中,已知a1=1,an+1=
(n∈N+).
(1)求a2,a3,a4,并由此猜想数列{an}的通项公式an的表达式;
(2)用适当的方法证明你的猜想.
an | 1+2an |
(1)求a2,a3,a4,并由此猜想数列{an}的通项公式an的表达式;
(2)用适当的方法证明你的猜想.
分析:(1)利用a1=1,an+1=
(n∈N+),n分别取2,3,4,可求出a2,a3,a4,并由此猜想数列{an}的通项公式;
(2)用数学归纳法证明:①当n=1时,a1=
=1,猜想成立;②假设当n=k时成立,利用an+1=
(n∈N+),可证得当n=k+1时猜想也成立,故可得结论.
an |
1+2an |
(2)用数学归纳法证明:①当n=1时,a1=
1 |
2×1-1 |
an |
1+2an |
解答:解:(1)∵a1=1,an+1=
(n∈N+).
∴a2=
=
….(1分)
a3=
=
…(2分)
a4=
=
…(3分)
由此猜想数列{an}的通项公式an=
(n∈N+)…..(5分)
(2)下面用数学归纳法证明
①当n=1时,a1=
=1,猜想成立…..(6分)
②假设当n=k(k∈N+,k≥1)猜想成立,即ak=
….(7分)
∵an+1=
(n∈N+).…(8分)
∴ak+1=
=
=
…(12分)
即当n=k+1时猜想也成立…..(13分)
根据①和②,可知猜想对任何n∈N+都成立…..(14分)
(用其他方法正确证明也给分)
an |
1+2an |
∴a2=
1 |
1+2 |
1 |
3 |
a3=
| ||
1+
|
1 |
5 |
a4=
| ||
1+
|
1 |
7 |
由此猜想数列{an}的通项公式an=
1 |
2n-1 |
(2)下面用数学归纳法证明
①当n=1时,a1=
1 |
2×1-1 |
②假设当n=k(k∈N+,k≥1)猜想成立,即ak=
1 |
2k-1 |
∵an+1=
an |
1+2an |
∴ak+1=
ak |
1+2ak |
| ||
1+
|
1 |
2k+1 |
即当n=k+1时猜想也成立…..(13分)
根据①和②,可知猜想对任何n∈N+都成立…..(14分)
(用其他方法正确证明也给分)
点评:本题以数列递推式为载体,考查数列的通项的猜想与证明,解题的关键是利用数学归纳法证明,尤其第二步的证明.
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