题目内容

在数列{an}中,已知a1=1,an+1=
an1+2an
(n∈N+)

(1)求a2,a3,a4,并由此猜想数列{an}的通项公式an的表达式;
(2)用适当的方法证明你的猜想.
分析:(1)利用a1=1,an+1=
an
1+2an
(n∈N+)
,n分别取2,3,4,可求出a2,a3,a4,并由此猜想数列{an}的通项公式;
(2)用数学归纳法证明:①当n=1时,a1=
1
2×1-1
=1
,猜想成立;②假设当n=k时成立,利用an+1=
an
1+2an
(n∈N+)
,可证得当n=k+1时猜想也成立,故可得结论.
解答:解:(1)∵a1=1,an+1=
an
1+2an
(n∈N+)

a2=
1
1+2
=
1
3
….(1分)
a3=
1
3
1+
2
3
=
1
5
…(2分)
a4=
1
5
1+
2
5
=
1
7
…(3分)
由此猜想数列{an}的通项公式an=
1
2n-1
(n∈N+)
…..(5分)
(2)下面用数学归纳法证明
①当n=1时,a1=
1
2×1-1
=1
,猜想成立…..(6分)
②假设当n=k(k∈N+,k≥1)猜想成立,即ak=
1
2k-1
….(7分)
an+1=
an
1+2an
(n∈N+)
.…(8分)
ak+1=
ak
1+2ak
=
1
2k-1
1+
2
2k-1
=
1
2k+1
…(12分)
即当n=k+1时猜想也成立…..(13分)
根据①和②,可知猜想对任何n∈N+都成立…..(14分)
(用其他方法正确证明也给分)
点评:本题以数列递推式为载体,考查数列的通项的猜想与证明,解题的关键是利用数学归纳法证明,尤其第二步的证明.
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