Question

在数列{a_n}中，已知a₁=

7

2

，a_n=3a_n-1+3ⁿ-1（n≥2，n∈N^*）．
（Ⅰ）计算a₂，a₃；
（Ⅱ）求证：{

an- 1 2

3n

}是等差数列；
（Ⅲ）求数列{a_n}的通项公式a_n及其前n项和S_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知条件，分别令n=2，n=3，利用递推思想能求出a₂，a₃．
（Ⅱ）由an=3an-1+3n-1，推导出

an- 1 2

3n

-

an-1- 1 2

3n-1

为常数，能够证明{

an- 1 2

3n

}是等差数列．
（Ⅲ）求出等差数列{

an- 1 2

3n

}的通项公式，能够推导出数列{a_n}的通项公式，再利用错位相减法能求出数列{a_n}的前n项和S_n．

解答：（本题满分14分）
解：（Ⅰ）∵a₁=

7

2

，a_n=3a_n-1+3ⁿ-1（n≥2，n∈N^*），
∴a2=3×

7

2

+32-1=

37

2

，
a3=3×

37

2

+33 -1=

163

2

．…（2分）
（Ⅱ）证明：∵an=3an-1+3n-1（n≥2，n∈N^*）
∴

an- 1 2

3n

-

an-1- 1 2

3n-1

=

(an- 1 2 )-(an-1- 3 2 )

3n

=

an-3an-1+1

3n

=

(3an-1+3n-1)-3an-1+1

3n

=

3n

3n

=1为常数
∴{

an- 1 2

3n

}是等差数列，且公差为1．…（6分）
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知{

an- 1 2

3n

}是等差数列，且公差为1，且a1=

7

2

∴

an- 1 2

3n

=

a1- 1 2

3

+(n-1)×1=n，
∴an=n•3n+

1

2

…（8分）
∴Sn=(1×31+2×32+3×33+4×34+…+n•3n)+

n

2

…（9分）
令Tn=1×31+2×32+3×33+4×34+…+n•3n…①
则3Tn=1×32+2×33+3×34+4×35+…+(n-1)•3n+n•3n+1…②，…（10分）
两式相减得：-2Tn=31+32+33+34+35+…+3n-n•3n+1…（11分）
=

3(1-3n)

1-3

-n•3n+1
=-

1

2

(3-3n+1)-n•3n+1…（12分）
∴Tn=

2n-1

4

•3n+1+

3

4

…（13分）
∴Sn=

2n-1

4

•3n+1+

3

4

+

n

2

…（14分）

点评：本题考查等差数列的证明，考查数列的通项公式和前n项和的求法，解题时要注意递推思想和错位相减求和法的合理运用．