Question

【题目】如图，在多面体中，四边形是边长为的菱形，，与交于点，平面平面，，，.

（1）求证：平面；

（2）若为等边三角形，点为的中点，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)见证明；(2)

【解析】

（1）可证，再利用平面平面证得平面，通过证明，可得要求证的线面垂直.

（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和平面的一个法向量后可求二面角的余弦值.

（1）证明：取的中点，连结、、，

因为，所以，

因为平面平面，平面平面，平面，

所以平面，

因为、分别为、的中点，所以且.

又，，所以，所以四边形为平行四边形，

所以，所以平面.

（2）解：因为菱形，所以.

所以，，两两垂直，建立空间直角坐标系，如图所示，

则，，，，

所以，

所以，，

设平面的法向量为，

由得，

取，可得，

平面的一个法向量为，

设二面角的平面角为，

则，

因为二面角的平面角为锐角，

所以二面角的余弦值为.