Question

如图，过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F的直线与抛物线相交于M、N两点，自M、N向准线l作垂线，垂足分别为M₁、N₁
（1）求证：FM₁⊥FN₁；
（2）记△FMM₁、△FM₁N₁，△FNN₁的面积分别为S₁、S₂、S₃，试判断S₂²=4S₁S₃是否成立，并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）由抛物线的定义得|MF|=|MM₁|，|NF|=|NN₁|，所以∠MFM₁=∠MM₁F，∠NFN₁=∠NN₁F，由此可知FM₁⊥FN₁．
（2）S₂²=4S₁S₃成立，证明如下：设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则由抛物线的定义得|MM₁|=|MF|=x1+

p

2

，|NN₁|=|NF|=x2+

p

2

，由此入手能够推导出S₂²=4S₁S₃成立．

解答：（1）证明：由抛物线的定义得
|MF|=|MM₁|，|NF|=|NN₁|，
∴∠MFM₁=∠MM₁F，∠NFN₁=∠NN₁F
如图，设准线l与x的交点为F₁
∴MM₁∥NN₁∥FF₁
∴∠F₁FM₁=∠MM₁F，∠F₁FN₁=∠NN₁F
而∠F₁FM₁+∠MFM₁+∠F₁FN₁+∠N₁FN=180°
即2∠F₁FM₁+2∠F₁FN₁=180°
∴∠F₁FM₁+∠F₁FN₁=90°
故FM₁⊥FN₁．
（2）S₂²=4S₁S₃成立，证明如下：
证：设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
则由抛物线的定义得
|MM₁|=|MF|=x1+

p

2

，|NN₁|=|NF|=x2+

p

2

，
于是
S₁=

1

2

|MM₁||F₁M₁|=

1

2

(x1+

p

2

) |y1|，
S₂=

1

2

|M₁N₂||FF₁|=

1

2

p|y1-y2|，
S₃=

1

2

|NN₁||F₁N₁|=

1

2

(x2+

p

2

) |y2|，
∵S₂²=4S₁S₃?(

1

2

p|y1-y2|2=4×

1

2

(x1+

p

2

)|y1|•

1

2

(x2+

p

2

) |y2|
?

1

4

p2[(y1+y2)2-4y1y2]=[x1x2+

p

2

(x1+x2)+

p2

4

]|y1y2|，
将

x1=my1+ p 2 x2=my2+ p 2

与

y1+y2=2mp y1y2=-p2

代入上式化简可得
p²（m²p²+p²）=p²（m²p²+p²），此式恒成立．
故S₂²=4S₁S₃成立．

点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答．