题目内容
已知函数f（x）=x3+ax2+bx在x=2处有极值，其图象在x=1处的切线平行于直线y=-3x-2，试求函数f（x）的极值．
由题意得，f′（x）=3x2+2ax+b，
∵在x=2处有极值，∴f′（2）=12+4a+b=0 ①，
∵在x=1处的切线平行于直线y=-3x-2，
∴f′（1）=3+2a+b=-3 ②，
由①②解得，a=-3，b=0，∴f（x）=x3-3x2，
由f′（x）=3x2-6x=0得，x=0或2，
当x＜0或x＞2时，f′（x）＞0，
当0＜x＜2时，f′（x）＜0，
即函数的增区间是（-∞，0），（2，+∞），减区间是（0，2），
当x=0时，函数f（x）取极大值为0，
当x=2时，函数f（x）取极小值为f（2）=-4．
∵在x=2处有极值，∴f′（2）=12+4a+b=0 ①，
∵在x=1处的切线平行于直线y=-3x-2，
∴f′（1）=3+2a+b=-3 ②，
由①②解得，a=-3，b=0，∴f（x）=x3-3x2，
由f′（x）=3x2-6x=0得，x=0或2，
当x＜0或x＞2时，f′（x）＞0，
当0＜x＜2时，f′（x）＜0，
即函数的增区间是（-∞，0），（2，+∞），减区间是（0，2），
当x=0时，函数f（x）取极大值为0，
当x=2时，函数f（x）取极小值为f（2）=-4．
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