Question

已知A（-6，0），B（6，0），点P在直线l：x-y+12=0上，若椭圆以A、B为焦点，以|PA|+|PB|的最小值为长轴长，求这个椭圆的方程．

Answer 1

分析：设点A关于直线l：x-y+12=0的对称点为C，连接BC交直线l于P₀，根据平面几何知识可得：当动点P与点P₀重合时，|PA|+|PB|取得最小值．然后根据直线AC的斜率等于-1和线段AC中点在直线l上，联列方程组可解出C的坐标为（-12，6），从而得到|PA|+|PB|取得最小值为|CB|=6

10

．最后设椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），根据椭圆的基本概念列出关于a、b的方程组，得到a=3

10

，b=3

6

，最终得出这个椭圆的方程．

解答：解：设点A关于直线l：x-y+12=0的对称点为C，连接BC交直线l于P₀，
根据平面几何知识可得：当动点P与点P₀重合时，|PA|+|PB|取得最小值．
设C（m，n），则有

kAC= n m+6 = -1 kl =-1 1 2 (m-6)- 1 2 n+12=0

，解之得

m=-12 n=6

∴C的坐标为（-12，6），得|PA|+|PB|取得最小值为|CB|=

(6+12)2+(0-6)2

=6

10

∵椭圆以A、B为焦点，以|PA|+|PB|的最小值为长轴长，
∴设椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），满足

2a=6 10 a2-b2=36

，
解之得a=3

10

，b=3

6

，
∴满足条件的椭圆方程是

x2

90

+

y2

54

=1．

点评：本题以直线上一个动点到两个定点距离和取最小值为载体，求椭圆的标准方程，着重考查了点关于直线对称、椭圆的基本概念等知识点，属于中档题．