Question

2．各项均为正数的等比数列{a_n}，a₁=1，a₂a₄=16，数列{b_n}的前n项和为S_n，且S_n=$\frac{3{n}^{2}+n}{2}$（n∈N⁺）．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）c_n=a_nb_n（n∈N⁺），求数列{c_n}的前n项和T_n；
（3）若d_n=a_n+（-1）ⁿb_n，设数列{d_n}的前n项和为U_n，求U_n．

Answer 1

分析 （1）运用等比数列的通项公式可得a_n=2^n-1：再由数列的通项和求和的关系，可得n＞1时，a_n=S_n-S_n-1，注意检验n=1的情况；
（2）求得c_n=a_nb_n=（3n-1）•2^n-1，运用错位相减法，结合等比数列的求和公式，即可得到；
（3）d_n=a_n+（-1）ⁿb_n=2^n-1+（-1）ⁿ•（3n-1），讨论n为偶数和奇数，运用分组求和，结合等比数列和等差数列的求和公式，计算即可得到．

解答 解：（1）设等比数列{a_n}的公比为q，
由a₁=1，a₂a₄=16，可得q⁴=16，解得q=2，（-2舍去），
即有a_n=2^n-1：
由S_n=$\frac{3{n}^{2}+n}{2}$（n∈N⁺），可得a₁=S₁=2，
n＞1时，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{3{n}^{2}+n}{2}$-$\frac{3（n-1）^{2}+（n-1）}{2}$
=3n-1，对n=1也成立，
则b_n=3n-1；
（2）c_n=a_nb_n=（3n-1）•2^n-1，
T_n=2+5•2+8•2²+…+（3n-1）•2^n-1，
2T_n=2•2+5•2²+8•2³+…+（3n-1）•2ⁿ，
两式相减可得，-T_n=2+3（2+2²+…+2^n-1）-（3n-1）•2ⁿ，
=2+3•$\frac{2（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$-（3n-1）•2ⁿ，
化简可得T_n=4+（3n-4）•2ⁿ；
（3）d_n=a_n+（-1）ⁿb_n=2^n-1+（-1）ⁿ•（3n-1），
当n为偶数时，U_n=（1+2+…+2^n-1）+（-2+5）+（-8+11）+…+（-3n+4+3n-1）
=$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$+$\frac{3n}{2}$=$\frac{3}{2}$n+2ⁿ-1；
当n为奇数时，U_n=U_n-1+d_n=$\frac{3}{2}$（n-1）+2^n-1-1+2^n-1-（3n-1）
=2ⁿ-$\frac{3n+3}{2}$．
即有U_n=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{n}-\frac{3n+3}{2}，n为奇数}\\{{2}^{n}+\frac{3n-2}{2}，n为偶数}\end{array}\right.$．

点评 本题考查等差数列和等比数列的通项公式及求和公式的运用，考查数列的求和方法：错位相减法和分组求和，考查分类讨论的思想方法，属于中档题．