Question

如图，已知直线l：4x-3y+6=0，抛物线C：y²=4x图象上的一个动点P到直线l与y轴的距离之和的最小值是

 

．

Answer 1

分析：根据题意设点P的坐标为（a²，2a），利用点到直线的距离公式，建立P到直线l与y轴的距离之和关于字母a的二次函数表达式，利用二次函数的性质加以计算，可得当P的坐标为（

1

3

，

2

3

）时所求距离之和的最小值为1．

解答：解：∵动点P在抛物线C：y²=4x上，
∴设点P的坐标为（a²，2a），可得P到y轴的距离d₁=a²．
P到直线l：4x-3y+6=0的距离d₂=

|4a2-6a+6|

42+(-3)2

=

1

5

|4a²-6a+6|，
∵4a²-6a+6=4（a-

3

4

）²+

15

4

＞0，
∴d₂=

1

5

（4a²-6a+6），
可得动点P到直线l与y轴的距离之和为：
d₁+d₂=a²+

1

5

（4a²-6a+6）=

9

5

（a²-

2

3

a+

2

3

）=

9

5

（a-

1

3

）²+1，
由此可得当a=

1

3

时，d₁+d₂的最小值为1，
即当P的坐标为（

1

3

，

2

3

）时，动点P到直线l与y轴的距离之和的最小值为1．
故答案为：1

点评：本题求抛物线上的动点到两条定直线的距离之和的最小值．着重考查了点到直线的距离公式、抛物线的简单几何性质等知识，属于中档题．