题目内容

(2013•广州三模)如图,已知直线l:y=4x及曲线C:y=x2,C上的点Q1的横坐标为a1(0<a1<4).从曲线C上的点Qn(n≥1)作直线平行于x轴,交直线l于点Pn+1,再从点Pn+1作直线平行于y轴,交曲线C于点Qn+1.Qn(n=1,2,3,…)的横坐标构成数列{an}.
(1)试求an+1与an的关系; 
(2)若曲线C的平行于直线l的切线的切点恰好介于点Q1,Q2之间(不与Q1,Q2重合),求a3的取值范围;
(3)若a1=3,求数列{an}的通项公式.
分析:(1)依题意,可求得Qn的坐标为(anan2),Qn+1的坐标为(an+1an+12),于是点Pn+1的坐标为(an+1,4an+1),从而有4an+1=an2
(2)设切点为(t,t2),则y′=4,可求得t=2.解不等式
a2<2
a1>2
可求得2<a1<2
2
,a3=
1
64
a
4
1
,继而可求得a3的取值范围;
(3)由an+1=
1
4
an2可求得lgan+1=2lgan+lg
1
4
,继而可知数列{lgan+lg
1
4
}是以2为公比,首项为lg
3
4
的等比数列,于是可求得数列{an}的通项公式.
解答:解:(1)因为点Qn的坐标为(anan2),Qn+1的坐标为(an+1an+12),
所以点Pn+1的坐标为(an+1,4an+1),
则4an+1=an2,故an+1与an的关系为an+1=
1
4
an2
(2)设切点为(t,t2),则y′=2x得2t=4,所以t=2.
解不等式
a2<2
a1>2
得2<a1<2
2
,a3=
1
4
a22=
1
4
(
1
4
a
2
1
)
2
=
1
64
a
4
1

∵2<a1<2
2

1
4
<a3<1.即a3的取值范围是(
1
4
,1).
(3)由an+1=
1
4
an2得lgan+1=lg(
1
4
an2),
即lgan+1=2lgan+lg
1
4

故lgan+1+lg
1
4
=2(lgan+lg
1
4
),lga1+lg
1
4
=lg3+lg
1
4
=lg
3
4
≠0,
所以数列{lgan+lg
1
4
}是以2为公比,首项为lg
3
4
的等比数列,
lgan+lg
1
4
=2n-1lg
3
4
=lg(
3
4
)
2n-1
,即lg
a
 
n
4
=lg(
3
4
)
2n-1

解得an=4•(
3
4
)
2n-1

数列{an}的通项公式为an=4•(
3
4
)
2n-1
点评:本题考查数列递推式,考查数列的函数特性,突出考查等比数列的通项公式,考查等价转化思想于逻辑思维能力与运算能力,属于难题.
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