题目内容

(1)试求an+1与an的关系;
(2)若曲线C的平行于直线l的切线的切点恰好介于点Q1,Q2之间(不与Q1,Q2重合),求a3的取值范围;
(3)若a1=3,求数列{an}的通项公式.
分析:(1)依题意,可求得Qn的坐标为(an,an2),Qn+1的坐标为(an+1,an+12),于是点Pn+1的坐标为(an+1,4an+1),从而有4an+1=an2;
(2)设切点为(t,t2),则y′=4,可求得t=2.解不等式
可求得2<a1<2
,a3=
,继而可求得a3的取值范围;
(3)由an+1=
an2可求得lgan+1=2lgan+lg
,继而可知数列{lgan+lg
}是以2为公比,首项为lg
的等比数列,于是可求得数列{an}的通项公式.
(2)设切点为(t,t2),则y′=4,可求得t=2.解不等式
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2 |
1 |
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a | 4 1 |
(3)由an+1=
1 |
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1 |
4 |
1 |
4 |
3 |
4 |
解答:解:(1)因为点Qn的坐标为(an,an2),Qn+1的坐标为(an+1,an+12),
所以点Pn+1的坐标为(an+1,4an+1),
则4an+1=an2,故an+1与an的关系为an+1=
an2.
(2)设切点为(t,t2),则y′=2x得2t=4,所以t=2.
解不等式
得2<a1<2
,a3=
a22=
(
)2=
.
∵2<a1<2
,
∴
<a3<1.即a3的取值范围是(
,1).
(3)由an+1=
an2得lgan+1=lg(
an2),
即lgan+1=2lgan+lg
,
故lgan+1+lg
=2(lgan+lg
),lga1+lg
=lg3+lg
=lg
≠0,
所以数列{lgan+lg
}是以2为公比,首项为lg
的等比数列,
lgan+lg
=2n-1lg
=lg(
)2n-1,即lg
=lg(
)2n-1,
解得an=4•(
)2n-1,
数列{an}的通项公式为an=4•(
)2n-1.
所以点Pn+1的坐标为(an+1,4an+1),
则4an+1=an2,故an+1与an的关系为an+1=
1 |
4 |
(2)设切点为(t,t2),则y′=2x得2t=4,所以t=2.
解不等式
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2 |
1 |
4 |
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4 |
1 |
4 |
a | 2 1 |
1 |
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a | 4 1 |
∵2<a1<2
2 |
∴
1 |
4 |
1 |
4 |
(3)由an+1=
1 |
4 |
1 |
4 |
即lgan+1=2lgan+lg
1 |
4 |
故lgan+1+lg
1 |
4 |
1 |
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1 |
4 |
1 |
4 |
3 |
4 |
所以数列{lgan+lg
1 |
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3 |
4 |
lgan+lg
1 |
4 |
3 |
4 |
3 |
4 |
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4 |
3 |
4 |
解得an=4•(
3 |
4 |
数列{an}的通项公式为an=4•(
3 |
4 |
点评:本题考查数列递推式,考查数列的函数特性,突出考查等比数列的通项公式,考查等价转化思想于逻辑思维能力与运算能力,属于难题.

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