题目内容

在Rt△ABC内有一内接正方形，它的一条边在斜边BC上，如图所示．
（1）设AB=a，∠ABC=θ，求Rt△ABC的面积P和正方形的面积Q
（2）当θ变化时，求 $数学公式$ 的最小值．

解：（1）设正方形边长为x
AB=a，∠ABC=θ
BC= $\text{[math]}$ ，AC=atanθ
BD=xcotθ，EC=xtanθ

BC= $\text{[math]}$ =BD+DE+EC=x+xcotθ+xtanθ
x= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
三角形ABC的面积P= $\text{[math]}$ AB×AC= $\text{[math]}$ a²tanθ
正方形的面积 Q=x²= $\text{[math]}$ ．
（2）
$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ sinθcosθ+1
∵sinθ＞0，cosθ＞0
令：t=sin2θ
∵0＜θ＜ $\text{[math]}$
∴t∈（0，1]∴ $\text{[math]}$ =1+ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ，函数在（0，1]递减
∴y_min= $\text{[math]}$ （当且仅当t=1即θ=

时成立）
∴当θ= $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）设正方形边长为x，求出BC= $\text{[math]}$ ，AC=atanθ，x，即可求出三角形ABC的面积P，正方形的面积Q．
（2）利用（1）推出 $\text{[math]}$ 的表达式，利用函数的单调性，求出比值的最小值．
点评：本题考查三角函数的基本关系式，函数单调性的应用，考查计算能力．