Question

如图，底面为平行四边形的四棱柱ABCD-A′B′C′D′，DD′⊥底面ABCD，∠DAB=60°，AB=2AD，DD′=3AD，E、F分别是AB、D′E的中点．
（Ⅰ）求证：DF⊥CE；
（Ⅱ）求二面角A-EF-C的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）证明CE⊥DE，CE⊥DD′，从而可得CE⊥平面DD′E，进而可得CE⊥DF；
（Ⅱ）取AE中点H，分别以DH、DC、DD'所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求得平面AEF的法向量，平面CEF的法向量，利用向量夹角公式，即可求得二面角A-EF-C的余弦值．
解答：（Ⅰ）证明：∵AD=AE，∠DAE=60°∴△DAE为等边三角形，
设AD=1，则，∴∠DEC=90°，
即CE⊥DE．     …（3分）
∵DD'⊥底面ABCD，CE?平面ABCD，∴CE⊥DD′．
∵DE∩DD′=D
∴CE⊥平面DD′E
∵DF?平面DD′E
∴CE⊥DF．   …（6分）
（Ⅱ）解：取AE中点H，则，
又∠DAE=60°，所以△DAE为等边三角形，则DH⊥AB，DH⊥CD．
分别以DH、DC、DD'所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
设AD=1，则．．
设平面AEF的法向量为，则，取．  …（10分）
平面CEF的法向量为，则，取．   …（12分）
∴．
∵二面角A-EF-C为钝二面角
∴二面角A-EF-C的余弦值为．   …（15分）
点评：本题考查线面垂直、线线垂直、考查面面角，解题的关键是掌握线面垂直的判定，正确求出平面的法向量，属于中档题．