Question

如图，底面为平行四边形的四棱柱ABCD-A′B′C′D′，DD′⊥底面ABCD，∠DAB=60°，AB=2AD，DD′=3AD，E、F分别是AB、D′E的中点．
（Ⅰ）求证：DF⊥CE；
（Ⅱ）求二面角A-EF-C的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）证明CE⊥DE，CE⊥DD′，从而可得CE⊥平面DD′E，进而可得CE⊥DF；
（Ⅱ）取AE中点H，分别以DH、DC、DD'所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求得平面AEF的法向量

n1

=(2

3

，0，1)，平面CEF的法向量

n2

=(3

3

，3，2)，利用向量夹角公式，即可求得二面角A-EF-C的余弦值．

解答：（Ⅰ）证明：∵AD=AE，∠DAE=60°∴△DAE为等边三角形，
设AD=1，则DE=1，CE=

3

，CD=2，∴∠DEC=90°，
即CE⊥DE．     …（3分）
∵DD'⊥底面ABCD，CE?平面ABCD，∴CE⊥DD′．
∵DE∩DD′=D
∴CE⊥平面DD′E
∵DF?平面DD′E
∴CE⊥DF．   …（6分）
（Ⅱ）解：取AE中点H，则AD=AE=

1

2

AB，
又∠DAE=60°，所以△DAE为等边三角形，则DH⊥AB，DH⊥CD．
分别以DH、DC、DD'所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
设AD=1，则D(0，0，0)，E(

3

2

，

1

2

，0)，A(

3

2

，-

1

2

，0)，D′(0，0，3)，F(

3

4

，

1

4

，

3

2

)，C(0，2，0)．

EF

=(-

3

4

，-

1

4

，

3

2

)，

AE

=(0，1，0)，

CE

=(

3

2

，-

3

2

，0)．
设平面AEF的法向量为

n1

=(x，y，z)，则

- 3 4 x- 1 4 y+ 3 2 z=0 y=0

，取

n1

=(2

3

，0，1)．  …（10分）
平面CEF的法向量为

n2

=(x，y，z)，则

- 3 4 x- 1 4 y+ 3 2 z=0 3 2 x- 3 2 y=0

，取

n2

=(3

3

，3，2)．   …（12分）
∴cosα＜

n1

，

n2

＞=

| n1 • n2 |

| n1 |•| n2 |

=

20

13 • 40

=

130

13

．
∵二面角A-EF-C为钝二面角
∴二面角A-EF-C的余弦值为-

130

13

．   …（15分）

点评：本题考查线面垂直、线线垂直、考查面面角，解题的关键是掌握线面垂直的判定，正确求出平面的法向量，属于中档题．