Question

设椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的上顶点为A，椭圆C上两点P，Q在X轴上的射影分别为左焦点F₁和右焦点F₂，直线PQ的斜率为

3

2

，过点A且与AF₁垂直的直线与X轴交于点B，△AF₁B的外接圆为圆M．
（1）求椭圆的离心率；
（2）直线3x+4y+

1

4

a²=0与圆M相交于E，F两点，且

.

ME

•

.

MF

=-

1

2

 a²，求椭圆方程．

Answer 1

分析：（1）设出P、Q的坐标，利用直线PQ的斜率为

3

2

，建立方程，即可求得椭圆的离心率；
（2）先确定圆心坐标与半径，再利用

.

ME

•

.

MF

=-

1

2

 a²，可得M到直线3x+4y+

1

4

a²=0的距离为

1

2

a，利用点到直线的距离公式，即可求得椭圆的标准方程．

解答：解：（1）由题意，不妨设P（-c，-

b2

a

），Q（c，

b2

a

），则直线PQ的斜率为

b2 a

c

=

3

2

∴

a2-c2

ac

=

3

2

，∴2e²+3e-2=0，
∵0＜e＜1，∴e=

1

2

；
（2）∵e=

1

2

，∴∠AF₁B=60•，a=2c
∵|AF₁|=a，∴|BF₁|=2a，即圆M的直径为2a，B（3c，0），圆心坐标为（c，0）
∵

.

ME

•

.

MF

=-

1

2

 a²，
∴

.

ME

2cos∠EMF=-

1

2

 a²，
∴cos∠EMF=-

1

2

∴∠EMF=120°
∴M到直线3x+4y+

1

4

a²=0的距离为

1

2

a
∴

|3c+ 1 4 a2|

5

=

1

2

a
∵a=2c，∴c=2，a=4
∴b²=a²-c²=12
∴椭圆方程为

x2

16

+

y2

12

=1．

点评：本题考查椭圆的标准方程与性质，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，解题的关键是确定圆的圆心与半径，属于中档题．