Question

6．设函数$f（x）=2ln{x^2}-\frac{1}{2}m{x^2}-nx$．
（I）若m=-1，n=3，求函数y=f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若x=2是f（x）的极大值点，求出m的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试讨论y=f（x）零点的个数．

Answer 1

分析 （Ⅰ）将m=-1，n=3代入f（x），求出f（x）的导数，得到函数的单调区间；
（Ⅱ）求出f（x）的导数，通过讨论m的范围判断函数的极大值的情况，进而判断出m的范围；
（Ⅲ）先求出f（x）_max=f（2）=2ln2+2m-2，通过讨论m的范围去掉函数的零点问题．

解答 解：（Ⅰ）由m=-1，n=3，得：f（x）=2lnx+$\frac{1}{2}$x²-3x，（x＞0），
f′（x）=$\frac{（x-1）（x-2）}{x}$，（x＞0），
∴x＞2或0＜x＜1时，f′（x）＞0，1＜x＜2时，f′（x）＜0，
∴f（x）在（0，1），（2，+∞）递增，在（1，2）递减；
（Ⅱ）f′（x）=$\frac{2}{x}$-mx-n，（x＞0），
由已知得f′（2）=0，整理得2m+n=1，
∴f′（x）=$\frac{（x-2）（-mx-1）}{x}$，
m≥0时，-mx-1＜0恒成立，
x＞2时，f′（x）＜0，0＜x＜2时，f′（x）＞0，
f（x）在x=2处取得极大值，满足题意，
m＜0时，令f′（x）=0，解得：x=2或x=-$\frac{1}{m}$，
要使f（x）在x=2处取得极大值，只需-$\frac{1}{m}$＞2，解得：-$\frac{1}{2}$＜m＜0，
综上，m＞-$\frac{1}{2}$时，f（x）在x=2处取得极大值；
（Ⅲ）由（Ⅱ）得m≥0时，f（x）在（0，2）递增，在（2，+∞）递减，
f（x）_max=f（2）=2ln2+2m-2，
当f（2）＞0即m＞1-ln2时，f（x）有2个零点，
当f（2）=0即m=1-ln2时，f（x）有1个零点，
当f（2）＜0即m＜1-ln2时，f（x）没有零点，
当-$\frac{1}{2}$＜m＜0时，f（x）在（0，2），（-$\frac{1}{m}$，+∞）递增，在（2，-$\frac{1}{m}$）递减，
f（2）＜0，f（x）至多1个零点，
法一：在（-$\frac{1}{m}$，+∞）取一点x=4-$\frac{2}{m}$=$\frac{4m-2}{m}$，代入f（x）得：
f（4-$\frac{2}{m}$）=2ln（4-$\frac{2}{m}$）-$\frac{1}{2}$m•$\frac{{4（2m-1）}^{2}}{{m}^{2}}$+（2m-2）•$\frac{4m-2}{m}$=2ln（4-$\frac{2}{m}$）＞0，
f（x）在（-$\frac{1}{m}$，+∞）上必有1个零点，
法二：y=2lnx在（0，+∞）递增，y=-$\frac{1}{2}$mx²-（1-2m）x是开口向上的二次函数，
∴f（x）在（-$\frac{1}{m}$，+∞）上必有正值，即f（x）在（-$\frac{1}{m}$，+∞）上必有1个零点，
综上，m＞1-ln2时，f（x）有2个零点，m=1-ln2或-$\frac{1}{2}$＜m＜0时，f（x）有1个零点，
0≤m＜1-ln2时，f（x）没有零点．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，函数的零点问题，考查分类讨论思想，是一道综合题．