Question

【题目】如图，在四棱锥中，已知平面，且四边形为直角梯形，，，.

（1）证明：；

（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值；

（3）点是线段上的动点，当直线与所成的角最小时，求线段的长.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.

【解析】

（1）在四棱锥中， 平面，得到，由四边形为直角梯形，得到，再由线面垂直的判定定理，证得平面，进而得到．

（2）以为原点，以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，求得平面和平面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求解．

（3）由（2），设，利用换元法求得，结合在上的单调性，即可计算得到结论．

（1）由题意，在四棱锥中，平面，

因为平面，所以，

又由四边形为直角梯形，所以，

因为，且平面，

所以平面，

又因为平面，所以．

（2）以为原点，以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，

可得,

由题意，可得，又由，可得平面，

所以是平面的一个法向量，

又由，

设平面的法向量为，

由，取，可得，

所以，

所以平面与平面所成二面角的余弦值为．

（3）由（2）可得，设，

又，则，

又，从而，

设，

则，

当且仅当时，即时，的最大值为，

因为在上是减函数，此时直线与所成的角取得最小值，

又因为，所以.