Question

15．已知函数f（x）=2sinx•cosx+2cos²x-1，
（1）求函数f（x）的单调递增区间．
（2）求函数f（x）的最大值及f（x）取最大值时x的集合．

Answer 1

分析 （1）由条件利用两角和差的正弦公式，化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性求得f（x）的单调递增区间．
（2）根据函数f（x）的解析式，再根据正弦函数的最值，求得函数f（x）的最大值及f（x）取最大值时x的集合．

解答 解：（1）函数f（x）=2sinx•cosx+2cos²x-1=sin2x+cos2x=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{3π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{π}{8}$，可得函数的单调增区间为[kπ-$\frac{3π}{8}$，kπ+$\frac{π}{8}$]，k∈Z．
（2）由f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），可得当2x+$\frac{π}{4}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z时，函数f（x）取得最大值为$\sqrt{2}$，
此时，x取值的集合为{x|x=kπ+$\frac{π}{8}$，k∈Z}．

点评 本题主要考查两角和差的正弦公式，正弦函数的单调性和最值，属于基础题．