Question

已知函数y=f(x)是定义在R上的函数，对于任意，函数y=f(x)(－1≤x≤1)是奇函数，又知y=f(x)在［0，1］上是一次函数，在［1，4］上是二次函数，且在x=2时，函数取得最小值，最小值为－5.

(1)证明：f(1)+f(4)=0;

(2)试求y=f(x),x∈［1,4］的解析式；

Answer 1

(1)证明：∵y=f(x)是以5为周期的周期函数，∴f(4)=f(4－5)=f(－1),又y=f(x)(－1≤x≤1)是奇函数，∴f(1)=－f(－1)=－f(4),∴f(1)+f(4)=0.

(2)解：当x∈［1,4］时，由题意，可设f(x)=a(x－2)²－5(a≠0),由f(1)+f(4)=0得a(1－2)²－5+a(4－2)²－5=0，解得a=2,∴f(x)=2(x－2)²－5(1≤x≤4).