Question

已知函数y=f(x)=

lnx

x

．
（1）求函数y=f（x）的图象在x=

1

e

处的切线方程；
（2）求y=f（x）的最大值；
（3）比较2009²⁰¹⁰与2010²⁰⁰⁹的大小，并说明为什么？

Answer 1

分析：（1）欲求在x=

1

e

处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=

1

e

处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．
（2）研究函数f（x）在定义域上的单调性，从而求出函数的最值；
（3）根据函数f(x)=

lnx

x

在（e，+∞）上为减函数，则

ln2009

2009

＞

ln2010

2010

，化简变形可得所求．

解答：解：（1）∵f（x）定义域为（0，+∞）
f（x）的导数为f′(x)=

1-lnx

x2

∵f(

1

e

)=-e，
又∵k=f′(

1

e

)=2e2，
∴函数y=f（x）在x=

1

e

处的切线方程为：y+e=2e2(x-

1

e

)，
即：y=2e²x-3e
（2）∵当x∈（0，e）时，f′（x）＞0，f（x）在（0，e）上为增函数；
当x∈（e，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）在（e，+∞）上为减函数；
∴fmax(x)=f(e)=

1

e

．
（3）∵2009，2010∈（e，+∞），且2009＜2010，
又∵f(x)=

lnx

x

在（e，+∞）上为减函数，
∴

ln2009

2009

＞

ln2010

2010

，
∴2010ln2009＞2009ln2010，
∴ln2009²⁰¹⁰＞ln2010²⁰⁰⁹，
∴2009²⁰¹⁰＞2010²⁰⁰⁹

点评：本题考查的是利用导数求曲线的切线方程，以及研究函数的单调性和利用单调性证明不等式等综合问题，属于中档题．