题目内容

已知M(1+cos2x，1)，N(1，
3
sin2x+a)（x∈R，a∈R，a是常数），且y=
OM
•
ON
（O为坐标原点）．
（1）求y关于x的函数关系式y=f（x）；
（2）若x∈[0，
π
2
]时，f（x）的最大值为4，求a的值；
（3）在满足（2）的条件下，说明f（x）的图象可由y=sinx的图象如何变化而得到？
分析：（1）利用向量的数量积的运算和向量的坐标求得函数的解析式．
（2）利用两角和公式对函数解析式化简整理，根据x的范围确定2x+
π
6
的范围进而利用正弦函数的性质求得函数的最大值，求得a．
（3）根据（2）可知f（x）=sin（x+
π
6
）+2，然后利用三角函数图象平移的法则求得答案．
解答：解：（1）y=
OM
•
ON
=1+cos2x+
3
sin2x+a，
所以f(x)=cos2x+
3
sin2x+1+a
（2）f(x)=2sin(2x+
π
6
)+1+a，
因为0≤x≤
π
2
，所以
π
6
≤2x+
π
6
≤
7π
6
，
当2x+
π
6
=
π
2
即x=
π
6
时f（x）取最大值3+a，
所以3+a=4，a=1
（3）①将y=sinx的图象向左平移
π
6
个单位得到函数f(x)=sin(x+
π
6
)的图象；
②将函数f(x)=sin(x+
π
6
)的图象保持纵坐标不变，横坐标缩短为原来的
1
2
得到函数f(x)=sin(2x+
π
6
)的图象；
③将函数f(x)=sin(2x+
π
6
)的图象保持横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍得到函数f(x)=2sin(2x+
π
6
)的图象；
④将函数f(x)=2sin(2x+
π
6
)的图象向上平移2个单位，得到函数f(x)=2sin(2x+
π
6
)+2的图象
点评：本题主要考查了三角函数的最值，平面向量的数量积的运算，三角函数图象的变换．考查了运用所学知识解决问题的能力．
练习册系列答案
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精英家教网已知函数f（x）=Msin（ωx+φ）（其中M＞0，ω＞0，|φ|＜
π
2
）的图象如图所示．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）设α∈(
π
6
，  
2π
3
)，  β∈(-
5π
6
，-
π
3
)，  f(
α
2
)=
3
5
，  f(
β
2
)=-
4
5
，求cos2（α-β）的值．
已知集合A={x|x=cos2
(2n-1)πm
，n∈Z}，当m为4022时，集合A的元素个数为
 
．
已知f(x)=cos2x+2
3
sinxcosx．
（1）求函数f（x）的最大值M，最小正周期T．
（2）若f(α)=
8
5
，求cos2α的值．
（1）求值sin2120°+cos180°+tan45°-cos2（-330°）+sin（-210°）
（2）化简：
sin(α-
π
2
)cos(α+
3π
2
)tan(π-α)
tan(-π-α)sin(-π-α)

（3）已知tanα=m，求sinα、cosα．

已知．

        (1)求函数f(x)的最大值M，最小正周期T．

(2)若，求cos2α的值．

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