Question

如图，在四棱锥P－ABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，N是PB中点，截面DAN交PC于M．

(Ⅰ)求PB与平面ABCD所成角的大小；

(Ⅱ)求证：PB⊥平面ADMN；

(Ⅲ)求以AD为棱，PAD与ADMN为面的二面角的大小．

Answer 1

答案：
解析：

解：解法一：(I)取AD中点O，连结PO，BO． 　　△PAD是正三角形，所以PO⊥AD，　　　　1分 　　又因为平面PAD⊥平面ABCD， 　　所以PO⊥平面ABCD，　　　　 2分 　　BO为PB在平面ABCD上的射影， 　　所以∠PBO为PB与平面ABCD所成的角　　　　3分 　　由已知△ABD为等边三角形，所以PO＝BO＝， 　　所以PB与平面ABCD所成的角为45°．　　　　4分 　　(Ⅱ)△ABD是正三角形，所以AD⊥BO，所以AD⊥PB，　　　　5分 　　又，PA＝AB＝2，N为PB中点，所以AN⊥PB，　　　　6分 　　所以PB⊥平面ADMN．　　　　8分 　　(Ⅲ)连结ON，因为PB⊥平面ADMN，所以ON为PO在平面ADMN上的射影， 　　因为AD⊥PO，所以AD⊥NO，9分 　　故∠PON为所求二面角的平面角．10分 　　因为△POB为等腰直角三角形，N为斜边中点，所以∠PON＝45°， 　　即所求二面角的大小为45°　　　　12分 　　解法二：(Ⅰ)同解法一 　　(Ⅱ)因为PO⊥平面ABCD， 　　所以PO⊥BO，△ABD是正三角形，所以AD⊥BO， 　　以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系，　　　　5分 　　由已知O(0，0，0)，B(0，，0，)，P(0，0，)，A(1，0，0)，D(－1，0，0)，N(0，)，所以 　　，　　　　6分 　　所以，　　　　7分 　　所以AD⊥PB，AN⊥PB，所以PB⊥平面ADMN，　　　　8分 　　(Ⅲ)因为AD⊥PB，AD⊥BO，所以AD⊥平面POB，所以ON⊥AD， 　　又PO⊥AD，所以故∠PON为所求二面角的平面角．　　　　10分 　　因为 　　设所求二面角为，则，　　　　11分 　　所以＝45°，即所求二面角的大小为45°．　　　　12分