Question

【题目】如图，DP⊥x轴，点M在DP的延长线上，且|DM|=2|DP|．当点P在圆x2+y2=1上运动时．
（Ⅰ）求点M的轨迹C的方程；
（Ⅱ）过点T（0，t）作圆x2+y2=1的切线交曲线C于A，B两点，求△AOB面积S的最大值和相应的点T的坐标．

Answer 1

【答案】解：（I）设点M的坐标为（x，y），点P的坐标为（x0 ， y0），
则x=x0 ， y=2y0 ， 所以x0=x，y0= ，①
因为P（x0 ， y0）在圆x2+y2=1上，所以x02+y02=1②，
将①代入②，得点M的轨迹方程C的方程为x2+ =1；
（Ⅱ）由题意知，|t|≥1，
（i）当t=1时，切线l的方程为y=1，点A、B的坐标分别为（﹣ ，1），（ ，1），
此时|AB|= ，当t=﹣1时，同理可得|AB|= ；
（ii）当|t|＞1时，设切线l的方程为y=kx+t，k∈R，
由 ，
得（4+k2）x2+2ktx+t2﹣4=0③，
设A、B两点的坐标分别为（x1 ， y1），（x2 ， y2），
由③得：x1+x2=﹣ ，x1x2= ，
又直线l与圆x2+y2=1相切，得 =1，即t2=k2+1，
∴|AB|= = = ，
又|AB|= = ≤2，且当t=± 时，|AB|=2，
综上，|AB|的最大值为2，
依题意，圆心O到直线AB的距离为圆x2+y2=1的半径，
∴△AOB面积S= |AB|×1≤1，
当且仅当t=± 时，△AOB面积S的最大值为1，相应的T的坐标为（0，﹣ ）或（0， ）．
【解析】（I）设出M的坐标为（x，y），点P的坐标为（x0 ， y0），由题意DP⊥x轴，点M在DP的延长线上，且|DM|=2|DP|，找出x0与x的关系及y0与y的关系，记作①，根据P在圆上，将P的坐标代入圆的方程，记作②，将①代入②，即可得到点M的轨迹方程；（Ⅱ）由过点T（0，t）作圆x2+y2=1的切线l交曲线C于A，B两点，得到|t|大于等于圆的半径1，分两种情况考虑：（i）当t=1时，确定出切线l为x=1，将x=1代入M得轨迹方程中，求出A和B的坐标，确定出此时|AB|的长，当t=﹣1时，同理得到|AB|的长；（ii）当|t|大于1时，设切线l方程为y=kx+t，将切线l的方程与圆方程联立，消去y得到关于x的一元二次方程，设A和B的坐标，利用根与系数的关系表示出两点横坐标之和与之积，再由切线l与圆相切，得到圆心到切线的距离d=r，利用点到直线的距离公式列出关系式，整理后得到k与t的关系式，然后利用两点间的距离公式表示出|AB|，将表示出的两根之和与两根之积，以及k与t的关系式代入，得到关于t的关系，利用基本不等式变形，得到|AB|的最大值，以及此时t的取值，而三角形AOB的面积等于AB与半径r乘积的一半来求，表示出三角形AOB的面积，将|AB|的最大值代入求出三角形AOB面积的最大值，以及此时T的坐标即可．