Question

13．若a=log₉7，则3^a+3^-a=$\frac{8\sqrt{7}}{7}$．设α为锐角，若cos（α+$\frac{π}{6}$）=$\frac{3}{5}$，则sin（α-$\frac{π}{12}$）=$\frac{\sqrt{2}}{10}$．

Answer 1

分析 把a值代入3^a+3^-a，然后利用对数的运算性质化简求值；根据题意求得sin（α+$\frac{π}{6}$）=$\frac{4}{5}$，再根据sin（α-$\frac{π}{12}$）=sin[（α+$\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{4}$]，再利用两角差的正弦公式计算求得结果．

解答 解：∵a=log₉7=$lo{g}_{3}\sqrt{7}$，∴3^a+3^-a=${3}^{lo{g}_{3}\sqrt{7}}+{3}^{lo{g}_{3}\frac{\sqrt{7}}{7}}$=$\sqrt{7}+\frac{\sqrt{7}}{7}=\frac{8\sqrt{7}}{7}$；
∵α为锐角，cos（α+$\frac{π}{6}$）=$\frac{3}{5}$为正数，
∴α+$\frac{π}{6}$是锐角，sin（α+$\frac{π}{6}$）=$\frac{4}{5}$，
∴sin（α-$\frac{π}{12}$）=sin[（α+$\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{4}$]
=sin（α+$\frac{π}{6}$）cos$\frac{π}{4}$-cos（α+$\frac{π}{6}$）sin$\frac{π}{4}$=$\frac{4}{5}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$-$\frac{3}{5}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{10}$．
故答案为：$\frac{{8\sqrt{7}}}{7}$；$\frac{{\sqrt{2}}}{10}$．

点评 本题考查对数的运算性质，着重考查了两角和与差的正弦公式，考查了三角函数中的恒等变换应用，属于中档题．