Question

空间四边形ABCD中，对角线BD=12

2

，AC=4

2

，连接各边中点所成的四边形PQRS的面积为12

3

，则AC与BD所成角的大小为

60°

．

Answer 1

分析：如图，根据三角形的中位线定理知，PS、PQ的长为其第三边的一半，根据平行四边形的面积公式即得．

解答：解：连接P，Q，因为PQ是△ABC的中位线，所以PQ∥AC，且PQ=

1

2

AC．
同理，SR∥AC，PQ∥BD，且SR=

1

2

AC=2

2

，PS=

1

2

BD=6

2

．
所以四边形PQRS边形，∠SPQ或其补角即为AC与BD所成的角．
∵s_PQRS=PS•PQ•sin∠SPQ⇒sin∠SPQ=

SPQRS

PS•PQ

=

3

2

．
∴∠SPQ=60°或120°．
所以AC与BD所成角的大小为60°．
故答案为：60°．

点评：本题主要考查了棱锥的结构特征，以及异面直线及其所成的角，属于基础题．解决本题的关键在于得到四边形PQRS为平行四边形．