Question

由棱长为a的正方体的每个面向外侧作侧棱为a的正四棱锥，以这些棱锥的顶点为顶点的凸多面体的全面积是

（3

3

+2

6

）a²

．

Answer 1

分析：由已知，凸多面体是个正八面体，所作的正四棱锥的高为h′=

2 a

2

，正八面体相对的两顶点的距离应为2h′+a=1+

2

a，设正八面体的棱长x，则

2

x=（1+

2

）a，这样求出正八面体棱长以后，就能求出全面积．

解答：解：由棱长为a的正方体的每个面向外侧作侧棱为a的正四棱锥，共可作6个，得到6个顶点，围成一个正八面体．所作的正四棱锥的高为h′=

2 a

2

，
正八面体相对的两顶点的距离应为2h′+a=1+

2

a
正八面体的棱长x满足

2

x=（1+

2

）a，x=（1+

2

2

）a，
每个侧面的面积为

3

4

x2=

3

4

×（1+

2

2

）²a²=

3 3 +2 6

8

a²，
全面积是8×

3 3 +2 6

8

=3

3

+2

6

故答案为：（3

3

+2

6

）a²

点评：本题考查空间几何体的结构特征，表面积的求法，考查空间想象能力，计算能力．本题得出正八面体的棱长是关键．是道好题．