题目内容

已知数列{an}对于任意p，q∈N*，都有ap+aq=ap+q，且a1=2．
（1）求an的表达式；
（2）将数列{an}依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（a1），（a2，a3），（a4，a5，a6），（a7，a8，a9，a10）；（a11），（a12，a13），（a14，a15，a16），（a17，a18，a19，a20）；（a21），…，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为{bn}，求b5+b100的值；
（3）设An为数列的前n项积，是否存在实数a，使得不等式对一切n∈N*都成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．
【答案】分析：（1）由对于任意p，q∈N*，都有ap+aq=ap+q，且a1=2，知an=2n．
（2）因为an=2n（n∈N*），所以数列{an}依次按1项、2项、3项、4项循环，每一次循环记为一组．由于每一个循环含有4个括号，故b100是第25组中第4个括号内各数之和．由此能求出b5+b100的值．
（3）因为，故，所以．故对一切n∈N*都成立，由此能求出使得所给不等式对一切n∈N*都成立的实数a取值范围．
解答：解：（1）∵对于任意p，q∈N*，都有ap+aq=ap+q，且a1=2，
∴a2=2a1=4，a3=2+4=6，a4=2+6=8，…，an=2n；（4分）
（2）因为an=2n（n∈N*），
所以数列{an}依次按1项、2项、3项、4项循环地分为
（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）；
（22），（24，26），（28，30，32），（34，36，38，40）；
（42），．每一次循环记为一组．由于每一个循环含有4个括号，
故b100是第25组中第4个括号内各数之和．（6分）
由分组规律知，由各组第4个括号中所有第1个数组成的数列是等差数列，且公差为20．
同理，由各组第4个括号中所有第2个数、所有第3个数、
所有第4个数分别组成的数列也都是等差数列，且公差均为20．（8分）
故各组第4个括号中各数之和构成等差数列，且公差为80．
注意到第一组中第4个括号内各数之和是68，（6分）
所以b100=68+24×80=1988．又b5=22，所以b5+b100=2010．（10分）
（3）因为，故，
所以．
故对一切n∈N*都成立，
就是
对一切n∈N*都成立．（12分）
设，
则只需即可．
由于=，
所以g（n+1）＜g（n），故g（n）是单调递减，
于是．（14分）
令，即，
解得，或，（15分）
综上所述，使得所给不等式对一切n∈N*都成立的实数a存在，
a的取值范围是．（16分）
点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，注意公式的合理运用．
练习册系列答案
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已知数列{an}对于任意p，q∈N*，有ap+aq=ap+q，若a1=
19
，则a36=
 
．
已知数列{an}对于任意p，q∈N*，有ap+aq=ap+q，若a1=
25
，则a100=
 
．
给出以下4个命题，其中所有正确结论的序号是
（1）（3）
（1）（3）

（1）当a为任意实数时，直线（a-1）x-y+2a+1=0恒过定点P则焦点在y轴上且过点P抛物线的标准方程是x2=
4
3
y．
（2）若直线l1：2kx+（k+1）y+1=0与直线l2：x-ky+2=0垂直，则实数k=1；
（3）已知数列{an}对于任意p，q∈N*，有ap+aq=ap+q，若a1=
1
9
，则a36=4
（4）对于一切实数x，令[x]大于x最大整数，例如：[3.05]=3，[
5
3
]=1，则函数f（x）=[x]称为高斯函数或取整函数，若an=f（
n
3
）（n∈N*），Sn为数列{an}的前n项和，则S50=145．
已知数列{an}对于任意的p，q∈N*，有ap+q=ap•aq．若a1=
2
，则a18=
 
．
已知数列{an}对于任意p，q∈N*，有ap•aq=ap+q，若a1=
2
，则a10的值为（　　）

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