Question

已知双曲线的左、右焦点分别为F₁、F₂，离心率为且过点(4，)．

(1)求双曲线的标准方程；

(2)直线x＝3与双曲线交于M、N两点，求证：F₁M⊥F₂M．

Answer 1

答案：
解析：

(1)解：由双曲线的离心率，即， 　　则＝2， 　　∴a＝b，即双曲线为等轴双曲线．可设其方程为x2－y2＝λ(λ≠0)． 　　由于双曲线过点(4，)， 　　则42－()2＝λ． 　　∴λ＝6．∴双曲线方程为＝1． 　　(2)证明：由(1)可得F1、F2的坐标分别为(，0)、(，0)，M、N的坐标分别为(3，)、(3，－)． 　　∴，． 　　故·＝·＝－1． 　　∴F1M⊥F2M．