Question

已知x、y为正实数,且满足关系式x²-2x+4y²=0,求x、y的最大值.

Answer 1

思路分析：题中有两个变量x和y,首先应选择一个主变量,可利用换元法,然后再求导.

解：由x²-2x+4y²=0,得(x-1)²+4y²=1(x＞0,y＞0).

设x-1=cosα,y=sinα(0＜α＜π),

∴x·y=sinα(1+cosα).

设f(α)=sinα(1+cosα)=sinα+sinαcosα,

∴f′(α)=cosα+cos²α-sin²α=(2cos²α+cosα-1)

=(cosα+1)(cosα-).

令f′(α)=0,得cosα=-1或cosα=.

∵0＜α＜π,∴α=

,此时.

∴f(π3)=

.∴［f(α)］_max=,

即当

时,［x·y］_max=

.    方法归纳 在实现转化的过程中,关键是要注意变量的取值范围必须满足题设条件,以免陷入困境.