题目内容
18、如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点．求证：
（1）PA∥平面BDE；
（2）平面PAC⊥平面BDE．
分析：（1）在平面BDE内找到和PA平行的直线EO即可．利用线线平行来推导出线面平行．
（2）先由PO⊥底面ABCD?PO⊥BD．再由ABCD是正方形?BD⊥AC，合在一起可得BD⊥平面PAC．即可推得平面PAC⊥平面BDE．
（2）先由PO⊥底面ABCD?PO⊥BD．再由ABCD是正方形?BD⊥AC，合在一起可得BD⊥平面PAC．即可推得平面PAC⊥平面BDE．
解答：证明：（1）连接OE，AC∩BD=O，
在△PAC中，
∵E为PC的中点，O为AC中点．
∴PA∥EO，（4分）
又∵EO?平面BDE，PA?平面BDE，
∴PA∥平面BDE（7分）
（2）∵PO⊥底面ABCD，BD?底面ABCD，
∴PO⊥BD．（10分）
又∵ABCD是正方形，
∴BD⊥AC，
又PO∩AC=O，
∴BD⊥平面PAC．
又BD?平面BDE，
∴平面PAC⊥平面BDE．（14分）
在△PAC中，
∵E为PC的中点，O为AC中点．
∴PA∥EO，（4分）
又∵EO?平面BDE，PA?平面BDE，
∴PA∥平面BDE（7分）
（2）∵PO⊥底面ABCD，BD?底面ABCD，
∴PO⊥BD．（10分）
又∵ABCD是正方形，
∴BD⊥AC，
又PO∩AC=O，
∴BD⊥平面PAC．
又BD?平面BDE，
∴平面PAC⊥平面BDE．（14分）
点评：本题考查平面和平面垂直的判定和性质和线面平行的推导．在证明线面平行时，其常用方法是在平面内找已知直线平行的直线．当然也可以用面面平行来推导线面平行．
练习册系列答案
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