Question

已知圆，直线，。
（1）证明：不论取什么实数，直线与圆恒交于两点；
（2）求直线被圆截得的弦长最小时的方程．

Answer 1

(1)见解析；(2)2x-y-5=0

试题分析：（1）直线与圆恒有交点，说明直线恒过的定点在圆内，所以关键是找到直线恒过的定点，要把直线改写成的形式，然后令m的系数为零即可.（2）圆的弦长最小值的计算，常用两种方法：第一、通过弦长的计算再求最小值；第二、通过计算最长的弦心距来研究最短的弦.
试题解析：（1）证法1：的方程，
即恒过定点
圆心坐标为，半径，，
∴点在圆内，从而直线恒与圆相交于两点。
证法2：圆心到直线的距离，
，所以直线恒与圆相交于两点。
（2）弦长最小时，，，，

代入，
得的方程为。