Question

已知命题p：“?x∈[1，2]，

1

2

x²-lnx-a≥0”与命题q：“?x∈R，x²+2ax-8-6a=0”都是真命题，则实数a的取值范围

 

．

Answer 1

分析：解命题P是恒成立问题，利用变量分流，构造新函数，用最值法求解，命题q即为方程有解．

解答：解：∵?x∈[1，2]，

1

2

x²-lnx-a≥0
∴a≤

1

2

x2-lnx，x∈[1，2]
令：f（x）=

1

2

x2-lnx，x∈[1，2]
则f′（x）=x-

1

x

∵f′（x）＞0
∴f（x）在[1，2]上增函数
∴f（x）的最小值为

1

2

∴a≤

1

2

又命题q：“?x∈R，x²+2ax-8-6a=0”是真命题
∴△=4a²+32+24a≥0
∴a≥-2或a≤-4
又∵命题p：“?x∈[1，2]，

1

2

x²-lnx-a≥0”与命题q：“?x∈R，x²+2ax-8-6a=0”都是真命题
∴实数a的取值范围 是（-∞，-4]∪[-2，

1

2

]

点评：本题通过常用逻辑用语来考查不等式怛成立问题和方程解的问题，难度空间很大，应熟练掌握．