Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=AC=AA₁=1，延长A₁C₁至点P，使C₁P=A₁C₁，连接AP交棱CC₁于D。

（Ⅰ）求证：PB₁∥平面BDA₁；
（Ⅱ）求二面角A-A₁D-B的平面角的余弦值。

Answer 1

解：（Ⅰ）连结AB1与BA1交于点O，连结OD， ∵C1D∥平面AA1，A1C1∥AP， ∴AD=PD，又AO=B1O， ∴OD∥PB1， 又OD面BDA1，PB1面BDA1， ∴PB1∥平面BDA1；
（Ⅱ）过A作AE⊥DA1于点E，连结BE ∵BA⊥CA，BA⊥AA1，且AA1∩AC=A， ∴BA⊥平面AA1C1C 由三垂线定理可知BE⊥DA1 ∴∠BEA为二面角A-A1D-B的平面角 在Rt△A1C1D中， 又 ∴ 在Rt△BAE中，， 故二面角A-A1D-B的平面角的余弦值为。