Question

已知向量=（2cos，tan（+）），=（sin（+），tan（-）），令f（x）=．
（1）求当x∈（，）时函数f（x）的值域；
（2）是否存在实数x∈[0，π]，使f（x）+f′（x）=0（其中f′（x）是f（x）的导函数）？若存在，则求出x的值；若不存在，则证明之．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用两个向量的数量积公式化简函数f（x）的解析式为 sin（x+），根据x的范围，求出函数的值域．
（2）先求出 f′（x）的解析式，由f（x）+f′（x）=0 化简可得cosx=0．再由x∈[0，π]，可得当x=时，cosx=0成立，由此得出结论．
解答：解：（1）f（x）==2cos•sin（）+tan（+）tan（-）
=2cos （sin+cos）-1=sinx+cosx=sin（x+）．
当x∈（，）时，x+∈（，），sin（x+）∈（ ，）．
故函数的值域为 （，1）．
（2）∵由上可得 f′（x）=cos（x+），由f（x）+f′（x）=0，
可得 sin（x+）+cos（x+）=0． 即 cosx=0．
再由实数x∈[0，π]，可得当x=时，cosx=0成立，即 f（x）+f′（x）=0 成立．
点评：本题主要考查两个向量的数量积公式，两角和差的正弦、余弦公式的应用，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．