Question

已知双曲线的左、右焦点分别为F₁、F₂,离心率为且过点(4,－).

(1)求双曲线的标准方程;

(2)直线x=3与双曲线交于M、N两点,求证:F₁M⊥F₂M.

Answer 1

解:(1)e=,则=2,

∴a=b.故可设双曲线的方程为x²－y²=λ(λ≠0).

由于双曲线过点(4,－),

∴4²－(－)²=λ.∴λ=6.

∴双曲线方程为x²－y²=6.

(2)由(1)可得F₁(－2,0)、F₂(2,0)、M(3, )、N(3,－).

∴k=,k=.

∴k·k=－1.

∴F₁M⊥F₂M.