Question

（本小题满分12分）
如图，四棱锥的底面为菱形，平面，，
分别为的中点，．

（Ⅰ）求证：平面平面．
（Ⅱ）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．

Answer 1

．证明：（Ⅰ）∵四边形是菱形，
∴．
在中，，，
∴．
∴，即．
又，   ∴．…………………2分
∵平面，平面，
∴．又∵，
∴平面，………………………………………4分
又∵平面，
平面平面．  ………………………………6分
（Ⅱ）解法一：由（1）知平面，而平面，
∴平面平面 ………………………6分
∵平面，∴．
由（Ⅰ）知，又
∴平面，又平面，
∴平面平面．…………………………8分
∴平面是平面与平面的公垂面．
所以，就是平面与平面所成的锐二面角的平面角．……9分
在中，，即．……………10分
又，
∴．
所以，平面与平面所成的锐二面角的余弦值为．…………12分
理（Ⅱ）解法二：以为原点，、分别为轴、轴的正方向，
建立空间直角坐标系，如图．

因为，，∴、、、 6分
则，，．………7分
由（Ⅰ）知平面，
故平面的一个法向量为．……………………8分
设平面的一个法向量为，
则，即，令，
则．    …………………10分
∴．
所以，平面与平面所成的锐二面角的余弦值为．……………12分

略