Question

已知双曲线的焦点与椭圆的焦点重合,且该椭圆的长轴长为,是椭圆上的的动点.
（1）求椭圆标准方程；
（2）设动点满足：，直线与的斜率之积为，求证：存在定点，
使得为定值，并求出的坐标；
（3）若在第一象限，且点关于原点对称，点在轴的射影为，连接 并延长交椭圆于
点，求证：以为直径的圆经过点.

Answer 1

（1）；（2）存在;（3）证明过程详见试题解析.

试题分析：（1）由双曲线的焦点与椭圆的焦点重合求出椭圆中的，再由，求出所求椭圆方程为；（2）先设，由,结合椭圆的标准方程可以得到使得为定值；（3）要证明以为直径的圆经过点，就是证明,详见解析.
试题解析：（1）解：由题设可知：双曲线的焦点为，
所以椭圆中的
又由椭圆的长轴为4得
故 
故椭圆的标准方程为： 
（2）证明：设，由可得：

由直线与的斜率之积为可得：
 ，即 
由①②可得：…6分
M、N是椭圆上，故
故，即 
由椭圆定义可知存在两个定点，使得动点P到两定点距离和为定值;
（3）证明：设
由题设可知 
由题设可知斜率存在且满足.……③
 
将③代入④可得：…⑤  
点在椭圆，故 
所以 
因此以为直径的圆经过点.