Question

4．己知C是半径为1、圆心角为60°的圆弧上的动点，如图，若$\overrightarrow{OC}$=x$\overline{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$，其中x，y∈R，则x+y的最大值是（　　）

• A． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• B． $\frac{4}{3}$
• C． 2
• D． $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Answer 1

分析 根据条件对$\overrightarrow{OC}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}$两边平方即可得到x²+xy+y²=1，根据x²+y²≥2xy即可得到xy$≤\frac{1}{3}$，并且x，y＞0，从而得到$（x+y）^{2}≤\frac{4}{3}$，这便可求得x+y的最大值．

解答 解：由已知条件，${\overrightarrow{OC}}^{2}=（x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}）^{2}$；
∴1=x²+xy+y²；
∵x²+y²≥2xy；
∴$xy≤\frac{1}{3}$；
根据题意x＞0，y＞0；
∴$（x+y）^{2}=1+xy≤\frac{4}{3}$；
∴$x+y≤\frac{2\sqrt{3}}{3}$；
∴x+y的最大值为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故选：A．

点评 考查向量数量积的计算公式，向量加法的平行四边形法则，共线向量基本定理，以及基本不等式的运用．