Question

在数列{a_n}中，S_n是数列{a_n}前n项和，a₁=1，当n≥2时，2S_nS_n-1=-a_n
（I）求证：数列是等差数列；
（II）设求数列{b_n}的前n项和T_n；
（III）是否存在自然数m，使得对任意自然数n∈N^*，都有成立？若存在，求出m的最大值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）由n≥2时，2S_nS_n-1=-a_n=S_n-1-S_n，利用分离常数法，可证得数列是等差数列；
（II）由（I）中数列的通项公式，求出S_n的通项公式，进而可得数列{b_n}的通项公式，利用裂项相消法，可得数列{b_n}的前n项和T_n；
（III）由（II）中T_n的表达式，可得到T_n为递增数列，故对任意自然数n∈N^*，都有成立，即，由此构造m的不等式，解答后可得m的范围进而得到最大值．
解答：证明：（I）∵当n≥2时，2S_nS_n-1=-a_n=S_n-1-S_n
两边同除S_nS_n-1得：2=-
∵a₁=1，
∴=1
即{}是以1为首项，以2为公差的等差数列
（II）由（I）得=2n-1
即S_n=
∴==（-）
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=[（1-）+（-）+…+（-）]=（1-）=
（III）令T（x）=，则T′（x）=
则T（x）在[1，+∞）上是增函数，
故当n=1时，T_n取最小值
若对任意自然数n∈N^*，都有成立
只要
即
解得m＜，
由m∈N^*，
∴m的最大值为9
点评：本题考查的知识点是数列与不等式的综合，等差关系的确定，数列求和，熟练掌握分离常数法，裂项相消法等处理数列问题的常用方法，是解答的关键．