题目内容
【题目】已知函数
.
（1）讨论
的极值；
（2）若有两个零点
，
，证明：
.
【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析
【解析】
（1）求出函数的导数，通过讨论
的范围，求出函数的单调区间即可得到极值；
（2）根据零点的概念得到
，利用分析法只需证：
，令
，即证
，设
，根据函数的单调性证明即可.
（1）
，
①当
时，由于
，故
，
，
所以
在
内单调递减，无极值；
②当
时，由
，得
，
在
上，，在
上，
，
所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为，
函数有极小值
，无极大值，
综上：当时，无极值；当时，有极小值
，无极大值.
（2）函数有两个零点
，
，不妨设
，
由（1）得，且
，
则
，
，
，
即，
要证：
，需证：
，
只需证：
，只需证：
，
只需证：
，只需证：，
令，即证，
设，
则
，即函数
在
单调递减，
则
，即得
.
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