Question

20．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，$\frac{π}{3}$＜C＜$\frac{π}{2}$，$\frac{b}{a-b}$=$\frac{sin2C}{sinA-sin2C}$，a=3，sinB=$\frac{\sqrt{11}}{6}$，则b=$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由正弦定理和三角形的知识化简已知条件可得A=C，a=c，由sinB=$\frac{\sqrt{11}}{6}$可得cosB=$\frac{5}{6}$，由余弦定理可得b值．

解答 解：在△ABC中，∵$\frac{b}{a-b}$=$\frac{sin2C}{sinA-sin2C}$，∴$\frac{sinB}{sinA-sinB}$=$\frac{sin2C}{sinA-sin2C}$，
∴sinAsinB-sinBsin2C=sinAsin2C-sinBsin2C，
∴sinAsinB=sinAsin2C，即sinB=sin2C，
∴sin（A+C）=sin2C，
∵$\frac{π}{3}$＜C＜$\frac{π}{2}$，∴A+C＞$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$＜2C＜π，
∴A+C=2C，即A=C，a=c，
由sinB=$\frac{\sqrt{11}}{6}$可得cosB=$\frac{5}{6}$，
∴b²=2a²-2a²cosB=3，故b=$\sqrt{3}$．

点评 本题考查正余弦定理解三角形，涉及三角函数公式和三角形的知识，属中档题．