Question

9．如图，在平行四边形ABB₁A₁中，AB=4，AA₁=2，∠ABB₁=60°，C，C₁分别是AB，A₁B₁的中点，现把平行四边形AA₁C₁C沿C₁C折起到A′A′₁C₁C，连接B₁C，B₁A′，B₁A′₁，BA′．
（I）证明：A′B₁⊥C₁C；
（Ⅱ）若A′B₁=$\sqrt{6}$，求三棱柱A′BC-A′₁B₁C₁的体积．

Answer 1

分析 （I）取CC₁的中点O，连接OA′，OB₁，A′C₁，则可证CC₁⊥平面A′OB₁，于是A′B₁⊥C₁C；
（II）由勾股定理的逆定理可得A′O⊥OB₁，于是三棱柱的体积V=V${\;}_{A′-BC{C}_{1}{B}_{1}}$+V${\;}_{{B}_{1}-A′{A}_{1}′{C}_{1}}$．

解答 证明：（I）取CC₁的中点O，连接OA′，OB₁，A′C₁，
∵在平行四边形ABB₁A₁中，∠ABB₁=60°，AB=4，AA₁=2，C，C₁分别为AB，A₁B₁的中点，
∴△A′CC₁，△B₁CC₁为正三角形，
∴A′O⊥CC₁，OB₁⊥C₁C，又∵A′O∩OB₁=O，
∴C₁C⊥平面OA′B₁，∵A′B₁?平面OAB₁，
∴A′B₁⊥CC₁．
（II）∵△B₁C₁C，△A′CC₁，△A′A₁′C₁是边长为2的正三角形，
∴A′O=B₁O=$\sqrt{3}$，S${\;}_{△A′{A}_{1}′{C}_{1}}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}×{2}^{2}=\sqrt{3}$．S${\;}_{菱形BC{C}_{1}{B}_{1}}$=$2×\sqrt{3}=2\sqrt{3}$．
∵A′B₁=$\sqrt{6}$，∴A′O²+OB₁²=A′B₁²，
∴A′O⊥OB₁，
又A′O⊥CC₁，∴A′O⊥平面BCC₁B₁．
∴V${\;}_{A′-BC{C}_{1}{B}_{1}}$=$\frac{1}{3}$S${\;}_{菱形BC{C}_{1}{B}_{1}}$•A′O=$\frac{1}{3}×2\sqrt{3}×\sqrt{3}$=2．
V${\;}_{{B}_{1}-A′{A}_{1}′{C}_{1}}$=$\frac{1}{3}$S${\;}_{△A′{A}_{1}′{C}_{1}}$•OB₁=$\frac{1}{3}×\sqrt{3}×\sqrt{3}$=1．
∴三棱柱A′BC-A′₁B₁C₁的体积V=V${\;}_{A′-BC{C}_{1}{B}_{1}}$+V${\;}_{{B}_{1}-A′{A}_{1}′{C}_{1}}$=3．

点评 本题考查了线面垂直的判定与性质，棱锥的体积计算，属于中档题．