Question

已知各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n，满足8S_n＝a＋4a_n＋3(n∈N^*)，且a₁，a₂，a₇依次是等比数列{b_n}的前三项．

(1)求数列{a_n}及{b_n}的通项公式；

(2)是否存在常数a＞0且a≠1，使得数列{a_n－log_ab_n}(n∈N^*)是常数列？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

解　(1)n＝1时，8a₁＝a＋4a₁＋3，a₁＝1或a₁＝3.(2分)

当n≥2时，8S_n－1＝＋4a_n－1＋3，

a_n＝S_n－S_n－1＝(a＋4a_n－－4a_n－1)，

从而(a_n＋a_n－1)(a_n－a_n－1－4)＝0

因为{a_n}各项均为正数，所以a_n－a_n－1＝4.(6分)

所以，当a₁＝1时，a_n＝4n－3；当a₁＝3时，a_n＝4n－1.

又因为当a₁＝1时，a₁，a₂，a₇分别为1,5,25，构成等比数列，

所以a_n＝4n－3，b_n＝5^n－1.

当a₁＝3时，a₁，a₂，a₇分别为3,7,27，不构成等比数列，舍去．(11分)

(2)假设存在a，理由如下：(12分)

由(1)知，a_n＝4n－3，b_n＝5^n－1，从而

a_n－lon_ab_n＝4n－3－log_a5^n－1＝4n－3－(n－1)·log_a5＝(4－log_a5)n－3＋log_a5.

由题意，得4－log_a5＝0，所以a＝.(16分)