Question

20．已知函数f（x）=2sinx（sinx+cosx）
（I）求f（x）的对称中心的坐标和单调递增区间；
（Ⅱ）在锐角三角形ABC中，已知f（A）=2，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=2，求△ABC的面积的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，利用辅助角公式化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的对称中心横坐标为kπ，得到函数的对称中心的坐标，单调递增区间[2kπ-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$+2kπ]，求出x的范围，可得出函数的单调递增区间．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得到A=$\frac{π}{4}$，由余弦定理，得到bc的范围，再由三角形的面积公式得到面积的最大值．

解答 （I）$f（x）=2{sin^2}x+2sinxcosx=1-cos2x+sin2x=\sqrt{2}sin（2x-\frac{π}{4}）+1$，
令$sin（2x-\frac{π}{4}）=0$，有$2x-\frac{π}{4}=kπ$，$x=\frac{kπ}{2}+\frac{π}{8}（k∈Z）$，
所以f（x）的对称中心是$（\frac{kπ}{2}+\frac{π}{8}，1）（k∈Z）$
令$-\frac{π}{2}+kπ≤2x-\frac{π}{4}≤\frac{π}{2}+kπ$，
得：$-\frac{π}{8}+\frac{kπ}{2}≤x≤\frac{3π}{8}+\frac{kπ}{2}（k∈Z）$，
所以f（x）的递增区间是$[{-\frac{π}{8}+\frac{kπ}{2}，\frac{3π}{8}+\frac{kπ}{2}}]（k∈Z）$
（Ⅱ）由（I）得：$sin（2A-\frac{π}{4}）=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
因为A为锐角，所以$2A-\frac{π}{4}=\frac{π}{4}$，即$A=\frac{π}{4}$，
又a²=b²+c²-2bccosA，
所以$4≥2bc-\sqrt{2}bc$，即$bc≤\frac{4}{{2-\sqrt{2}}}=2（2+\sqrt{2}）$，
所以${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}bcsinA≤\frac{1}{2}×2（2+\sqrt{2}）×\frac{{\sqrt{2}}}{2}=\sqrt{2}+1$，
当且仅当b=c取等号，
故该三角形面积的，最大值为$\sqrt{2}+1$

点评 本题主要考查三角函数的对称中心和单调区间，主要涉及两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的单调性，辅助角公式，正弦定理，余弦定理等，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．