Question

10．下面四个图象中，至少有一个是函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³+ax²+（a²-1）x+1（其中a∈R）的导函数f′（x）的图象，在f（-1）等于（　　）

• A． -$\frac{1}{3}$
• B． $\frac{5}{3}$
• C． $\frac{1}{3}$或-$\frac{5}{3}$
• D． -$\frac{1}{3}$或$\frac{5}{3}$

Answer 1

分析 由f（x）解析式求出导函数f′（x）解析式，分析得到导函数图象可能为①或③，根据函数图象分别求出a的值，确定出f（x）解析式，即可求出f（-1）的值．

解答 解：由f（x）=$\frac{1}{3}$x³+ax²+（a²-1）x+1，得到f′（x）=x²+2ax+a²-1，
可得导函数图象可能为①，即对称轴为y轴，-a=0，
解得：a=0，此时f（x）=$\frac{1}{3}$x³-x+1，即f（-1）=-$\frac{1}{3}$+2=$\frac{5}{3}$；
可得导函数图象可能为③，即f′（0）=0，
∴a²-1=0，即a=1或-1，
当a=1时，f′（x）=x²+2x，不合题意；
当a=-1时，f（x）=$\frac{1}{3}$x³-x²+1，符合题意，此时f（-1）=-$\frac{1}{3}$-1+1=-$\frac{1}{3}$，
综上，f（-1）=$\frac{5}{3}$或-$\frac{1}{3}$，
故选：D．

点评 此题考查了导数的运算，二次函数的图象与性质，熟练掌握导数的运算是解本题的关键．