Question

求经过l₁：2x-3y+2=0与l₂：3x-4y-2=0的交点，且分别满足下列条件的直线l的方程．
（1）过点（1，1）；
  （2）平行于直线2x-y-2=0．

Answer 1

分析：法一：由

2x-3y+2=0 3x-4y-2=0

得交点坐标为（14，10）
（1）由点（14，10）及（1，1）知所求直线l的斜率，根据点斜式可求直线方程
（2）由题意可得所求直线l的斜率为2，由点（14，10）及斜率2利用直线的点斜式可求
解法二（利用直线系方程）：设所求直线l的方程为2x-3y+2+λ（3x-4y-2）=0，即（3λ+2）x-（4λ+3）y+2-2λ=0
（1）将点（1，1）代入方程可求λ，进而可求直线方程
（2）由直线平行可得

3λ+2

4λ+3

=2，从而可求λ，进而可求直线方程

解答：解：法一：由

2x-3y+2=0 3x-4y-2=0

得直线l₁与直线l₂的交点坐标为（14，10）
（1）由点（14，10）及（1，1）知所求直线l的斜率为

9

13

所以所求直线l的方程为9x-13y+4=0
（2）直线2x-y-2=0的斜率为2，所以所求直线l的斜率也为2
由点（14，10）及斜率2可得所求直线l的方程为2x-y-18=0
解法二：设所求直线l的方程为2x-3y+2+λ（3x-4y-2）=0
即（3λ+2）x-（4λ+3）y+2-2λ=0----（*）
（1）将点（1，1）代入方程（*）得λ=

1

3

将λ=

1

3

代入方程（*）得所求直线l的方程为9x-13y+4=0
（2）由方程（*）得斜率为

3λ+2

4λ+3

，直线2x-y-2=0的斜率为2
所以

3λ+2

4λ+3

=2，解得λ=-

4

5

，将λ=-

4

5

代入方程（*）得
直线l的方程为2x-y-18=0

点评：本题主要考查了利用直线的点斜式求解直线的方程，解题的关键是要熟练应用两直线平行转换斜率的相等关系，还要注意解法2中的直线系的设法．