Question

（1）已知直线l₁：ax+3y+1=0，l₂：2x+（a+1）y+1=0
①若l₁∥l₂，求实数a的值；   
②若l₁⊥l₂，求实数a的值．
（2）已知平面上三个定点A（-1，0），B（3，0），C（1，4）．
①求点B到直线AC的距离；
②求经过A、B、C三点的圆的方程．

Answer 1

分析：（1）①根据两条直线平行的充要条件列出关于a的等式，解之即可得到实数a的值；
②根据两条直线垂直的充要条件列出关于a的方程，解之即可得到实数a的值．
（2）①由直线方程的两点式，列出直线AC的方程并化成一般式，再由点到直线的距离公式，可求出点B到直线AC的距离；
②根据圆方程的一般式，设方程为：x²+y²+Dx+Ey+F=0，将A、B、C三点的坐标代入，得到关于D、E、F的方程组，解出D、F、E的值，即可得到所求圆的方程．

解答：解：（1）∵直线l₁：ax+3y+1=0，l₂：2x+（a+1）y+1=0
∴①当l₁∥l₂时，

a

2

=

3

a+1

≠

1

1

，解之得a=-3（舍去a=2）；
②当l₁⊥l₂时，a×2+3（a+1）=0，解之得a=-

3

5

．
（2）①直线AC方程为

y-0

4-0

=

x-(-1)

1-(-1)

，化成一般式为2x-y+2=0
由点到直线的距离公式，得B到直线AC的距离为d=

|2×3-0+2|

22+(-1)2

=

8 5

5

；
②设经过A、B、C三点的圆的方程为：x²+y²+Dx+Ey+F=0，
将A、B、C三点坐标代入，可得

1-D+F=0 9+3D+F=0 1+16+D+4E+F=0

，解之得

D=-2 E=-3 F=-3

∴经过A、B、C三点的圆的方程为x²+y²-2x-3y-3=0．

点评：本题通过几道计算题，考查了直线的基本形式、直线的位置关系、点到直线的距离公式和圆的一般方程等知识，属于基础题．